Рођен је у трговачкој породици, с обзиром на то да му је отац Владимир – Влада Костић био познати вршачки трговац, а мајка Емилија – Мила потицала је из познате породице Мандукић. По завршетку основне школе уписује Реалну гимназију у Вршцу где се озбиљније почиње занимати за шах.
Таленат младог Боре брзо долази до изражаја јер му главни шаховски противник постаје пет година старији ученик, Сава Гердец, који ће га први упознати са теоријом шаховске игре. Након матуре млади Бора одлучује да упише Оријенталну трговачку академију у Будимпешти коју завршава са одличним успехом. У Будимпешти Костић остварује први запажен резултат у шаху када 1909.године осваја прво место на турниру мађарских шаховских аматера.
Шаховска каријера
Успех који је остварио у Будимпешти одвео га у то доба познати шаховски центар у Бечу, у коме су се окупљали мајстори шаха. Костић је у Бечу победио др Оланда са 7:0, шампиона Холандије, а играо је успешно слободне партије против младо Риплија. Из Беча Костић одлази у Келн1911. године, једним од водећих шаховских центара, како би се опробао са најбољим немачким мајсторима. Током боравка у Немачкој Костић се запошљава као трговачки путник једне фабрике трикотаже. Одличује тада да изазове на меч првака Келна и Рајнске области Варду. Њихове партије привлаче велику пажњу јавности. У мечу од осам партија Костић добија пет док је у три ремизирао. Овај меч посматраће славни Рудолф Шпилман, који ће касније са Костићем постати велики пријатељ.
У Келну Костић прихвата двобој са шампионом Сједињених Америчких Држава, веома јаким Френнком Маршалом. Овај рововски меч завршен је 5:3 од тога су две победе Костића и шест ремија. Због сензационалне победе над америчким шампионом добија позиве са разних страна. Костић потом игра меч са прваком града лајпцига у коме остварује убедљиву победу, а затим, исте године, одлази на међународни шаховски турнир у Сан Ремо, где је делио 4. и 5. место.
Био је шаховски професионалац, никад није имао други посао осим што је играо шах. У својој дугој шаховској каријери учествовао је на многим великим турнирима у земљи и у иностранству.
Најзапаженије резултате остварио је на турнирима у Њујорку 1918. године, где је био други, затим друго место у Хејстингсу 1919. године, Будимпешта 1921. године (деоба трећег и четвртог места), прво место у Треланским Теплицама 1928. године, Шампионат Југославије 1935. године (деоба првог и другог места), прво место у Љубљани 1938. године. Био је шампион Краљевине Југославије у шаху 1935, 1937. и 1938.године.
1936. године поставио је тадашњи рекорд у игри на слепо, одигравши симултанку на 30 табли.
Несумљиви патриота
Био је челичног здравља и у поодмаклим година умео је да прави серије симултанки путујући сваког дана из једног места у друго. Такође је био и један од најбољих играча на слепо на свету. Течно је говорио више страних језика: руски, енглески, мађарски и хебрејски. У најтежим временима, за време Другог светског рата, показао се као несумњиви патриота. СС командант Шилер га је послао у концентрациони логор јер је Костић одбио да игра турнире „Слободна Европа“ и да на тај начин глорификује нацистички режим.
Преминуо је у својој 77. години од тровања крви. Сахрањен је у Вршци. Његов гроб посећују шахисти из свих крајева света, а Град Вршац сваке године организује традиционални меморијални турнир у част Боре Костића.
Имао је ванбрачну ћерку Дивну, која је била певачица у Скадарлији.
Т.М.
